（２０００年センター試験　数学Ⅱ・Ｂの微分積分）
２０００年のセンター試験で，数学②の数学Ⅱ・Ｂにおいて三次関数の移動に関する問題が出題された。 
（問題）途中省略・・・ 
　　（２）ａを０でない実数とする。関数ｆ（ｘ）＝３ａｘ２－（８ａ＋６）ｘ＋４ａ＋６ 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ 
　　　　があり，関数ｈ（ｘ）を，ｈ（ｘ）＝∫　ｆ（ｔ）ｄｔ　と定める。 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0 
　　　　このときｘ＝０およびｘ＝２におけるｈ（ｘ）の値と微分係数は，それぞれ 
　　　　ｈ（０）＝□，　　　　　ｈ（２）＝□ 
　　　　ｈ’（０）＝□ａ＋□，　ｈ’（２）＝□　　である。 
　　　　０≦ｘ≦２の範囲でｈ（ｘ）が正の値も負の値も両方取るのは，  
　　　　　　　□  
　　　　ａ＜----　　のときである。  
　　　　　　　□  
これが（１）は省略したが，（２）の問題である。　 

更に解答も一部省略するが， 
　　　積分すると，ｈ（ｘ）＝ａｘ３－（４ａ＋３）ｘ２＋（４ａ＋６）ｘ　となる。 
　　　これに代入して，ｈ（０）＝０であり，ｈ（２）＝０である。 
　　　また，微分するとｈ’（ｘ）＝３ａｘ２－２（４ａ＋３）ｘ＋４ａ＋６であり， 
　　　これに代入して，ｈ’（０）＝４ａ＋６，ｈ’（２）＝－６である。 

前置きが長かったが，やっと赤の部分の解説と図形的意味である。 
　　　ｈ（０）＝０は，定点（０，０）を通ることであり，同じくｈ（２）＝０は，定点（２，０）を通ることである。 
　　　また，ｈ’（２）＝－６は，（２，０）におけるの接線が負，つまりグラフは右下がりを表す。 
　　　----これでやっと上のグラフが分かってもらえたかな？ 
　　　　　ａが変わる事によって，グラフが上のように動く事を意味する。 
　　　問題の０≦ｘ≦２において，正の値も負の値もとるようにとは， 
　　　極小値が０≦ｘ≦２の範囲内にある事， 
　　　つまり， 
　　　ｘ＝０における接線の傾きであるｈ’（０）＝４ａ＋６が，右下がり（負）になればよい。 
　　　　∴４ａ＋６＜０より 
　　　　　　　　　－３　 
　　　　　　ａ＜----- 
　　　　　　　　　　２　　　である。 

（解説） 
非常に誘導が親切である。 
単に，０≦ｘ≦２の範囲で，正も負も・・・とだけ出題したなら， 
定点（０，０）と（２，０）は見つけ出せずに，正答率は低かったであろう。 
「二次関数の移動による頂点の作る軌跡」などは，定番としての出題であったが， 
ついに「三次関数の移動による条件の検索」の世界まで突入した。 
いくら誘導があるとはいえ，計算だけには頼れない，イメージが必要な良問であった。
しかし，例年の問題なら，順序は微分してから積分（それも面積）だったが，
積分が先だったり，面積を問わなかったり，毛色の変った問題と言わざるを得ない。