９９　東大

（９９　東大）

（問題）
以下の三角関数の加法定理を導け。（ちょっと改題ね。）
　　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
　　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

（解）
単位円（原点中心，半径１の円）において，
始めの位置として，Ａ（cosα，sinα），Ｂ（cos（－β），sin（－β））＝（cosβ，－sinβ）をおく。・・・・・・・・・・・・・・・厳密には三角比の定義から論じておく必要があるが。。ＡＢの２点間の距離は，
ＡＢ^２＝（cosα－cosβ）^２＋（sinα＋sinβ）^２　
　　　＝cos^２α－２cosαcosβ＋cos^２β＋sin^２α＋２sinαsinβ＋sin^２β
　　　＝２－２（cosαcosβ－sinαsinβ）・・・・・・・・・・（Ⅰ）
次に，
ＯＡＢの三角形を，ＯＢをX軸正方向と重なるように回転させ，ＡがＣ，ＢがＤの座標になったとすると，
Ｃ（cos（α＋β），sin（α＋β）），Ｄ（１，０）となり，
ＣＤの２点間の距離は，
ＣＤ^２＝｛cos（α＋β）－１｝^２＋sin^２（α＋β）
　　　＝２－２cos（α＋β）・・・・・・・・・・（Ⅱ）
ここで三角形の辺として，ＡＢ＝ＣＤだから，（Ⅰ）＝（Ⅱ）より，
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβである。

授業では，「コスモスコスモス咲かない咲いた」
　　　　　　　cos　　　cos　　　sin　　－　　sin　　　と教えている。
　cosはコスモス，sinは咲いた。咲かないだからマイナス
　角度は，α，β，α，βの順番ね。

また，

sin（９０°＋θ）＝cosθ 　cos（９０°＋θ）＝－sinθ　より

・・・・・・・・・・・・・・・厳密には三角比の定義から論じておく必要があるが。。。
sin（α＋β）＝－cos｛９０°＋（α＋β）｝
　　　　　　＝－cos｛（９０°＋α）＋β｝
　　＝－｛cos（９０°＋α）cosβ－sin（９０°＋α）sinβ｝
　　　　　　　＝－（－sinαcosβ－cosαsinβ）
　　　　　　　＝sinαcosβ＋cosαsinβ

こちらは，「咲いたコスモス，コスモス咲いた」
　　　　　　sin　　cos　　　cos　　　sin ＋　　と教えている。

【解説】
かなり噂になった問題。この手の出題は，それまでなかったものだけに，その後の賛否両論は記憶に新しい。
一方でテクニック重視の受験数学に警鐘を鳴らしたと，拍手喝采で迎えられたり，
他方では，やはり天下の東大でこういった出題が必要なのか，今後の受験指導に組み込まれてゆき，
出題意図とはかけ離れ，一人歩きしてゆくのではないか，ともいわれた。
私個人としては，数学の（理学としての研究の意味で）本質に迫った画期的な出題と評価したい。
－－－－なーんちゃって，私が評価したって，なんちゅーことはないんだけどね。。。。。
　