１辺の長さが１の正三角形ＡＢＣがある。
頂点Ａは、ｘ軸の負でない部分、頂点Ｂは、ｙ軸の負でない部分 頂点Ｃは、第１象限にあるものとする。
このとき、頂点ＯとＣの間の距離、ＯＣの最大値と最小値を求めよ。
ま、つまり、青のように正三角形が動く時、赤の長さが変わるけど、それ調べよう。

→　　　 →
ＢＣは、ＢＡを６０゜回転させたものだから、

　　　ｃーｂ＝(ａーｂ)(cos６０゜＋ｉsin６０゜)となり

　　　　　　　　　　　　　　　１　　 �浮R
　　　　　ｃ＝ｂ＋(ａーｂ)(−−＋−−ｉ)……………………�@
　　　　　　　　　　　　　　　２　　　 ２

　角ＢＡＯ＝θ　(０゜≦θ≦９０゜)とおくと

　　　cosθ＝ａ　，ｉsinθ＝ｂ　となり　�@に代入して、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 １　　 �浮R
　　　　　ｃ＝ｉsinθ＋(cosθーｉsinθ)(−−＋−−ｉ)
　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２　　　 ２

　　　　　　　　　１　　　　　　 �浮R　　　　　　 １　　　　　 �浮R
　　　　　　＝(−−cosθ＋−−sinθ)＋(−−sinθ＋−−cosθ)ｉ
　　　　　　　　　２　　　　　　　 ２　　　　 　　 ２　　　　　　 ２

　となる。

　ＯＣ^２＝｜ｃ｜^２より

　　　　　　　 cosθ＋�浮Rsinθ 　　　　�浮Rcosθ＋sinθ
　　　　　＝( −−−−−−−−)^２＋(−−−−−−−−)^２
　　　　　　　 　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　 ２

　　　　　＝１＋�浮Rsinθcosθ

　　　　　　　　　�浮R
　　　　　＝１＋−−sin２θ
　　　　　　　　 　 ２

　よって、ＯＣ^２は、

　　　　　　θ＝０゜、９０゜のとき、最小値ＯＣ＝�浮P＝１をとる。

　　　　　　θ＝４５゜のとき、最大値

　　　　　　　　　　　    �浮R
　　　 ＯＣ＝��１＋−−
　　　　　　　　　　　   　２

　　　　　　　　�浮R＋１
　　　　　　＝−−−−
　　　　　　　　　　２　　　　　　 をとる。

ところがこの問題は、中学生でも次のように解けるのじゃ。