α＝cos(７２゜)＋ｉsin(７２゜)とおくとき、次の問に答えよ。
　ただし、ｉは虚数単位とする。
(1)等式(ｘ−１)(ｘ^４＋ｘ^３＋ｘ^２＋ｘ＋１)＝ｘ^５−１が成り立つことを示せ。
(2)αは方程式ｘ^５＝１および、ｘ^４＋ｘ^３＋ｘ^２＋ｘ＋１＝０の解となることを示せ。
また、      を極形式を用いて表せ。
          １
          ----
       　   α
(3)               １
   β＝α＋----とおくとき、(2)よりβは方程式ｘ^２＋ｘ−１＝０の解と
                  α
なることを示し、これを用いて、
                     �浮T−１                         ��１０＋２�浮T
　cos(７２゜)＝----------  、sin(７２゜)＝--------------
                          ４                                   　４
となることを証明せよ。

【解説】  　  (1)は数学Ａの式の展開である。2次に出題するのはどうかという意見もあるかもしれないが，受験生にとって，ほっと一息つく，導入としては良い問題と思われる。  逆に，これが出来ないと合格は出来ないだろう。（これが解けない人は受験してないはず！）  (2)(3)は，図形的には複素数平面上の正五角形の問いである。  教科書にもこの問いでいうところのαまでは載っているので，見覚えある「よしっ」という受験生も多かったのではなかろうか。  見たことが無くても，証明としての出題であるため，力技で解に近づけたであろう。    右図はこの問題の，cos72°の図形的表現。  sin72°も，省略しているが以下のように図形的表現できる。  　　　　  1  　α−----＝２sin72°として，虚軸上に平行四辺形を作る。  　　　　 α

　また、
          １                        １
        ----＝------------------------
         α           cos７２゜＋ｉsin７２゜

                               １            ×(cos７２゜−ｉsin７２゜)
            ＝-------------------------------------
                  (cos７２゜＋ｉsin７２゜)×(cos７２゜−ｉsin７２゜)

                    cos７２゜−ｉsin７２゜
            ＝------------------------
                   cos^２７２゜＋sin^２７２゜

             ＝cos７２゜−ｉsin７２゜ 　　　　　　　　←これはまだ極形式とは言えない。
　　　　　　＝cos(−７２゜)＋ｉsin(−７２゜) 　　　←この形まで。問題の(７２°)はこれを連想させたかったのか？

(3)ｘ^４＋ｘ^３＋ｘ^２＋ｘ＋１＝０･････�@　の両辺をｘ^２で割ると、
                       １        １
   ｘ^２＋ｘ＋１＋----＋-----＝０
                       ｘ         ｘ^２
                   １                 １
　（ｘ^２＋２＋-----）＋（ｘ＋----）−１＝０
                   ｘ^２                ｘ
           １                 １
　（ｘ＋----）^２＋（ｘ＋----）−１＝０
           ｘ                  ｘ　　　     　　　　   �@の解が、αだから、
             1                   １
  （α＋----）^２＋（α＋----）−１＝０
            α                  α　　　　　　
よって
　　　β^２＋β−１＝０
つまり、βはｘ^２＋ｘ−１＝０･････�Aの解である。

ここで、             １
        β＝α＋----　　は、(2)より
                       α
          ＝(cos７２゜＋ｉsin７２゜)＋(cos７２゜−ｉsin７２゜)
　　　　　＝２cos７２゜＞０
また、�Aを解くと
      −１±�浮T                                 �浮T−１
　ｘ＝-----------　β＞０より　β＝----------
             ２                                          ２
従って、                �浮T−１                                     �浮T−１
        ２cos７２゜＝----------    ゆえに、cos７２゜＝----------
                               ２                                               ４
また、
　０＜sin７２゜＜１だから、
　sin７２゜＝��１−cos^２７２゜
                          �浮T−１ 
           ＝��１−(---------)^２
                              ４
                ��１０＋２�浮T
           ＝---------------
                    　　４