複素数平面の原点を、Ｐ０とし、Ｐ０から実軸の正の方向に１進んだ点をＰ_１とする。
                                                                     １
次に、Ｐ１を中心として４５°回転して向きを変え、---- 進んだ点をＰ_２とする。
                                                                   �浮Q
以下同様に、Ｐ_ｎに到達した後、４５°回転してから前回進んだ距離の１／�浮Q倍進んで
到達する点をＰ_n+1とする。
この時、点Ｐ_１０が表す複素数を求めよ｡

 ま、よーするに左のような動きを繰り返してゆくわけですわ｡その１０回目はどこにおるかっちゅーこと。
 
 
 

【解】　　

           --→   --→    --→
ここで、Ｐ_０Ｐ_１，Ｐ_１Ｐ_２，Ｐ_２Ｐ_３，････････を表す複素数は、順に１，α，α^２，・・・・となる。
よって、
 --→      --→    --→    --→                   --→
Ｐ_０Ｐ_１０＝Ｐ_０Ｐ_１＋Ｐ_１Ｐ_２＋Ｐ_２Ｐ_３＋・・・・・・＋Ｐ_９Ｐ_１０を表す複素数は､
初項１，公比αの等比数列の第１０項までの和にあたり､
                                                      １−α^１０
       １＋α＋α^２＋・・・・・・・＋α^９＝----------        ・・・・・・・・・・�Aを得る｡
                                                       １−α
ここで、
                     １   _１０
       α^１０＝（----）  ｛cos（４５°×１０）＋isin（４５°×１０）｝
                   �浮Q

                     i
               ＝---    ・・・・・・・・�B  より、
                   ３２

よって、�@�Bより、�Aは
                             ｉ
                  １−  ----
                           ３２
       �A＝---------------
                        １
                １− ---（１＋i）
                        ２

                 ３２−i
          ＝---------
              １６−１６i

             ３３      ３１
          ＝--- ＋ ---i
             ３２      ３２
 
 

ところがこの問題は、正方形を作図することによって、中学生でも次のように解けるのじゃ。